线性回归&逻辑回归

线性回归

1. 简单介绍一下线性回归。

• 线性：两个变量之间的关系是一次函数关系的——图象是直线，叫做线性。
• 非线性：两个变量之间的关系不是一次函数关系的——图象不是直线，叫做非线性。
• 回归：人们在测量事物的时候因为客观条件所限，求得的都是测量值，而不是事物真实的值，为了能够得到真实值，无限次的进行测量，最后通过这些测量数据计算回归到真实值，这就是回归的由来。
• 线性回归就是利用的样本$D=(\mathrm{x}_i, \mathrm{y}_i)
  $，$ \mathrm{i}=1,2,3 \ldots \mathrm{N}, \mathrm{x}_i$是特征数据，可能是一个，也可能是多个，通过有监督的学习，学习到由$x$到$y$的映射$h$，利用该映射关系对未知的数据进行预估，因为$y$为连续值，所以是回归问题。

2. 线性回归的假设函数是什么形式？

线性回归的假设函数（$\theta{0}$表示截距项，$ x{0} = 1$，方便矩阵表达）：

$$f(x)=\theta_{0} x_{0}+\theta_{1} x_{1}+\theta_{2} x_{2} \ldots+\theta_{n} x_{n} = \theta ^TX$$

其中$\theta,x$都是列向量

3. 线性回归的代价(损失)函数是什么形式？

$$MSE: \qquad J\left(\theta_{0}, \theta_{1}\right)=\frac{1}{2 m} \sum_{i=1}^{m}\left(y_{i}-h_{\theta}\left(x_{i}\right)\right)^{2}$$

4. 简述岭回归与Lasso回归以及使用场景。

• 目的：

  • 解决线性回归出现的过拟合的请况。

  • 解决在通过正规方程方法求解$\theta$的过程中出现的$X^TX$不可逆的请况。

• 本质：

  • 约束(限制)要优化的参数

这两种回归均通过在损失函数中引入正则化项来达到目的：

线性回归的损失函数：

$$J(\theta)=\frac{1}{2 m} \sum_{i=1}^{m}\left(h_{\theta}\left(x^{(i)}\right)-y^{(i)}\right)^{2}$$

• 岭回归
  • 损失函数：

$$J(\theta)=\frac{1}{2 m} \sum_{i=1}^{m}\left(h_{\theta}\left(x^{(i)}\right)-y^{(i)}\right)^{2}+\lambda \sum_{j=1}^{n} \theta_{j}^{2}$$

• Lasso回归
  • 损失函数

$$J(\theta)=\frac{1}{2 m} \sum_{i=1}^{m}\left(h_{\theta}\left(x^{(i)}\right)-y^{(i)}\right)^{2}+\lambda \sum_{j=1}^{n} |\theta_{j}|$$

本来Lasso回归与岭回归的解空间是全部区域，但通过正则化添加了一些约束，使得解空间变小了，甚至在个别正则化方式下，解变得稀疏了。

如图所示，这里的$w_1$，$w_2$都是模型的参数，要优化的目标参数，那个红色边框包含的区域，其实就是解空间，正如上面所说，这个时候，解空间“缩小了”，你只能在这个缩小了的空间中，寻找使得目标函数最小的$w_1$，$w_2$。左边图的解空间是圆的，是由于采用了$L2$范数正则化项的缘故，右边的是个四边形，是由于采用了$L1$范数作为正则化项的缘故，大家可以在纸上画画，$L2$构成的区域一定是个圆，$L1$构成的区域一定是个四边形。

再看看那蓝色的圆圈，再次提醒大家，这个坐标轴和特征（数据）没关系，它完全是参数的坐标系，每一个圆圈上，可以取无数个$w_1$，$w_2$，这些$w_1$，$w_2$有个共同的特点，用它们计算的目标函数值是相等的！那个蓝色的圆心，就是实际最优参数，但是由于我们对解空间做了限制，所以最优解只能在“缩小的”解空间中产生。

蓝色的圈圈一圈又一圈，代表着参数$w_1$，$w_2$在不停的变化，并且是在解空间中进行变化（这点注意，图上面没有画出来，估计画出来就不好看了），直到脱离了解空间，也就得到了图上面的那个$w^*$，这便是目标函数的最优参数。

对比一下左右两幅图的$w^*$，我们明显可以发现，右图的$w^*$的$w_1$分量是0，有没有感受到一丝丝凉意？稀疏解诞生了！是的，这就是我们想要的稀疏解，我们想要的简单模型。$L1$比$L2$正则化更容易产生稀疏矩阵。

• 补充

  • ElasticNet 回归： 线性回归 + L1正则化 + L2 正则化。

    • ElasticNet在我们发现用Lasso回归太过(太多特征被稀疏为0),而岭回归也正则化的不够(回归系数衰减太慢)的时候，可以考虑使用ElasticNet回归来综合，得到比较好的结果。

    • 损失函数

      $$J(\theta)=\frac{1}{2} \sum_{i}^{m}\left(y^{(i)}-\theta^{T} x^{(i)}\right)^{2}+\lambda\left(\rho \sum_{j}^{n}\left|\theta_{j}\right|+(1-\rho) \sum_{j}^{n} \theta_{j}^{2}\right)$$

  • LWR(局部加权)回归：

    • 局部加权线性回归是在线性回归的基础上对每一个测试样本（训练的时候就是每一个训练样本）在其已有的样本进行一个加权拟合，权重的确定可以通过一个核来计算，常用的有高斯核（离测试样本越近，权重越大，反之越小），这样对每一个测试样本就得到了不一样的权重向量，所以最后得出的拟合曲线不再是线性的了，这样就增加的模型的复杂度来更好的拟合非线性数据。

    • 损失函数

      $$J(\theta)=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{m} w^{(i)}\left(h_{\theta}\left(x^{(i)}\right)-y^{(i)}\right)^{2}$$

5. 线性回归要求因变量服从正态分布吗？

线性回归的假设前提是噪声服从正态分布，即因变量服从正态分布。但实际上难以达到，因变量服从正态分布时模型拟合效果更好。

参考资料： http://www.julyedu.com/question/big/kp_id/23/ques_id/2914

逻辑回归

1. 简单介绍一下逻辑回归

逻辑回归用来解决分类问题，线性回归的结果$Y$带入一个非线性变换的Sigmoid函数中，得到$[0,1]$之间取值范围的数$S$，$S$可以把它看成是一个概率值，如果我们设置概率阈值为0.5，那么$S$大于0.5可以看成是正样本，小于0.5看成是负样本，就可以进行分类了。

• 逻辑回归的本质： 极大似然估计
• 逻辑回归的激活函数：Sigmoid
• 逻辑回归的代价函数：交叉熵

2. 简单介绍一下Sigmoid函数

函数公式如下：

$$S(t)=\frac{1}{1+e^{-t}}$$

函数中$t$无论取什么值，其结果都在$[0,{1}]$的区间内，回想一下，一个分类问题就有两种答案，一种是“是”，一种是“否”，那0对应着“否”，1对应着“是”，那又有人问了，你这不是$[0,1]$的区间吗，怎么会只有0和1呢？这个问题问得好，我们假设分类的阈值是0.5，那么超过0.5的归为1分类，低于0.5的归为0分类，阈值是可以自己设定的。

好了，接下来我们把$\theta^T X+b$带入$t$中就得到了我们的逻辑回归的一般模型方程：

逻辑回归的假设函数：

$$H(\theta, b)=\frac{1}{1+e^{(\theta^T X+b)}}$$

结果$P$也可以理解为概率，换句话说概率大于0.5的属于1分类，概率小于0.5的属于0分类，这就达到了分类的目的。

3. 逻辑回归的损失函数是什么

逻辑回归的损失函数是对数似然函数，函数公式如下：

$$\operatorname{cost}\left(h_{\theta}(x), y\right)=\left\{\begin{aligned}-\log \left(h_{\theta}(x)\right) & \qquad y=1 \\-\log \left(1-h_{\theta}(x)\right) & \qquad y=0 \end{aligned}\right.$$

两式合并得到概率分布表达式：

$$(P(y|x,\theta ) = h_{\theta}(x)^y(1-h_{\theta}(x))^{1-y})$$

对数似然函数最大化得到似然函数的代数表达式为 ：

$$L(\theta) = \prod\limits_{i=1}^{m}(h_{\theta}(x^{(i)}))^{y^{(i)}}(1-h_{\theta}(x^{(i)}))^{1-y^{(i)}}$$

对似然函数对数化取反得到损失函数表达式 ：

$$J(\theta) = -lnL(\theta) = -\sum\limits_{i=1}^{m}(y^{(i)}log(h_{\theta}(x^{(i)}))+ (1-y^{(i)})log(1-h_{\theta}(x^{(i)})))$$

• 为何不能用mse

解释

4.可以进行多分类吗？

多分类问题一般将二分类推广到多分类的方式有三种，一对一，一对多，多对多。

• 一对一：

  • 将$N$个类别两两配对，产生$N(N-1)/2$个二分类任务，测试阶段新样本同时交给所有的分类器，最终结果通过投票产生。

• 一对多：

  • 每一次将一个例作为正例，其他的作为反例，训练$N$个分类器，测试时如果只有一个分类器预测为正类，则对应类别为最终结果，如果有多个，则一般选择置信度最大的。从分类器角度一对一更多，但是每一次都只用了2个类别，因此当类别数很多的时候一对一开销通常更小(只要训练复杂度高于$O(N)$即可得到此结果)。

• 多对多：

  • 若干各类作为正类，若干个类作为反类。注意正反类必须特殊的设计。

5.逻辑回归的优缺点

• 优点

  • LR能以概率的形式输出结果，而非只是0,1判定。
  • LR的可解释性强、可控度高、训练速度快

• 缺点

  • 对模型中自变量多重共线性较为敏感

    例如两个高度相关自变量同时放入模型，可能导致较弱的一个自变量回归符号不符合预期，符号被扭转。需要利用因子分析或者变量聚类分析等手段来选择代表性的自变量，以减少候选变量之间的相关性；

  • 预测结果呈$S$型，因此从$log(odds)$向概率转化的过程是非线性的，在两端随着$log(odds)$值的变化，概率变化很小，边际值太小，slope太小，而中间概率的变化很大，很敏感。 导致很多区间的变量变化对目标概率的影响没有区分度，无法确定阀值。

6. 逻辑斯特回归为什么要对特征进行离散化。

• 逻辑回归属于广义线性模型，表达能力受限；单变量离散化为N个后，每个变量有单独的权重，相当于为模型引入了非线性，能够提升模型表达能力，加大拟合；离散特征的增加和减少都很容易，易于模型的快速迭代；

• 稀疏向量内积乘法运算速度快，计算结果方便存储，容易扩展；

• 简化模型：特征离散化以后，起到了简化了逻辑回归模型的作用，降低了模型过拟合的风险。

• 方便交叉与特征组合：离散化后可以进行特征交叉，由$M+N$个变量变为$M*N$个变量，进一步引入非线性，提升表达能力；

7. 线性回归与逻辑回归的区别

• 线性回归的样本的输出，都是连续值，$ y\in (-\infty ,+\infty )$，而逻辑回归中$y\in (0,1)$，只能取0和1。

• 对于拟合函数也有本质上的差别：

  • 线性回归：$f(x)=\theta ^{T}x=\theta {1}x {1}+\theta {2}x {2}+…+\theta {n}x {n}$
  • 逻辑回归：$f(x)=P(y=1|x;\theta )=g(\theta ^{T}x)$，其中，$g(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$

线性回归的拟合函数，是对$f(x)$的输出变量$y$的拟合，而逻辑回归的拟合函数是对为1类样本的概率的拟合。

• 为什么要以1类样本的概率进行拟合呢，为什么可以这样拟合呢？

  $\theta ^{T}x=0$就相当于是1类和0类的决策边界：

  当$\theta ^{T}x>0$，则$y>0.5$；若$\theta ^{T}x\rightarrow +\infty $，则$y \rightarrow 1 $，即$y$为1类;

  当$\theta ^{T}x<0$，则$y<0.5$；若$\theta ^{T}x\rightarrow -\infty $，则$y \rightarrow 0 $，即$y$为0类;

• 这个时候就能看出区别，在线性回归中$\theta ^{T}x$为预测值的拟合函数；而在逻辑回归中$\theta ^{T}x$为决策边界。下表为线性回归和逻辑回归的区别。

  线性回归和逻辑回归的区别

	线性回归	逻辑回归
目的	预测	分类
$y^{(i)}$	未知	（0,1）
函数	拟合函数	预测函数
参数计算方式	最小二乘法	极大似然估计

下面具体解释一下：

1. 拟合函数和预测函数什么关系呢？简单来说就是将拟合函数做了一个逻辑函数的转换，转换后使得$y^{(i)} \in (0,1)$;
2. 最小二乘和最大似然估计可以相互替代吗？回答当然是不行了。我们来看看两者依仗的原理：最大似然估计是计算使得数据出现的可能性最大的参数，依仗的自然是Probability。而最小二乘是计算误差损失。

8. 逻辑回归有哪些应用

• CTR预估/推荐系统的learning to rank/各种分类场景。
• 某搜索引擎厂的广告CTR预估基线版是LR。
• 某电商搜索排序/广告CTR预估基线版是LR。
• 某电商的购物搭配推荐用了大量LR。
• 某现在一天广告赚1000w+的新闻app排序基线是LR。